, un) vériant ?i ? n : (fi(ui+1), ui) ? R. Alors T est un arbre bien fondé. On regarde l'application canonique ?T de T dans l'ordinal attaché ? (qui est la hauteur de l'arbre T ) telle que pour tout, ) ? T 2 si u est un prolongement strict de v alors ?T (v) > ?T (u)
, ); ...; u(n)] et si elle est de longueur 1, de seul terme x, elle est notée
, L'ordinal i n'est pas attachable à un contre-exemple. Il s'ensuit que la hauteur de l'arbre T := T (n ? fn+1) est au moins égale à ? et donc il existe x(i) ? E tel que ? T
, ce qui signie que pour tout ?; f : si (x(?), f (i(?))) ? R i(?) alors ? < ?(f )
, que s'envoyer un seul message en utilisant un téléphone ludique T à deux combinés, Alice disposant du combiné1 On note ((E 1 × F 1 ) × (E 2 × F 2 ), G) la garantie de T. On impose à Alice un certain x ? E. Elle dispose d'un téléphone de Tukey b-garanti pour envoyer un message à Bob
, taper sur le clavier du combiné1 de son téléphone et attendre de voir l'écran pour envoyer un b-message à Bob. De même, Bob peut attendre d'avoir reçu son b-message pour taper sur son clavier de combiné2. A la vue de son écran, il devra proposer un z ? F . Finalement
, Voyant la réponse r1 qui ici est un élément de U , elle utilise son b-téléphone pour l'émettre. Bob, qui reçoit y ? V tel que (r1, y) ? S, sur son Tukey-téléphone b-garanti, tape alors y sur son clavier de combiné2 de T et reçoit r2 ? F . Il annoncé r2, La garantie de T est que si (r1, y) ? S (et ici c'est bien le cas) alors (x, r2) ? R. Il s'ensuit que l'équipe gagne
, Soit R une relation binaire R ? F1 × F2 vériant: 1) pour tout élément y1 de F1, il existe y2 élément de F2 tel que (y1, y2) ? R. 2) pour tout élément y2 de F2, il existe y1
, 3) pour tout élément (h, y1, y2) de H × R, v1(h, y1, y2) = y1 4) pour tout élément (h, y1, y2) de H × R, v2(h, y1, y2) = y2 D'après (1) et (2) les applications v1 et v2 sont des surjections. Le cardinal de H étant inni et strictement plus grand que celui de F1 et de F2, les antécédents par v1 (respectivement par v2) de tout élément xé de F1
, y1, y2) de F1 × F2 appartient à R si et seulement si il existe h ? H tel que (h, y1, y2)
, y1, y2) appartient à Rsi et seulement si il existe t appartenant à H × R tel que, pp.1-1
, un élément quelconque (y1, y2) appartient à R si et seulement si il existe h ? H tel que u1(h) = y1 et u2(s(h)) = y2
, Soit p une une application de F1 × F2 dans [0,1 ] telle que: 1) la somme des p(y1, y2) pour (y1, y2) variant dans F1 × F2 est 1. 2) p ne prend que des valeurs rationnelles Soit H un ensemble ni dont le cardinal est multiple de tous les dénominateurs de fractions irréductibles représentant des valeurs prises par p. Soient u1 (respectivement u2) une surjection de H dans F1 (respectivement F2) avec les propriétés suivantes: 3) pour tout élément y1 de F1 le nombre d'antécédents de y1 par u1 est le produit de la somme des p(y1, w) pour w variant dans F2 et du cardinal de H. 4) pour tout élément y2 de F2
, Soit v1 (respectivement v2) une application de M dans F1
, elle se réduit ludiquement à une relation S incluse dans A1 × B1 × A2 × B2 qui est préfortement non TSD, donc telle que: 1) pour tout élément (x1, y1, x2) de A1 × B1 × A2 , il existe un élément y2, pp.2-2
, 2}, ui une surjection de H dans Bi telle que pour tout élément de Fi l'ensemble de ses antécédents par ui soit un sous
, Supposons qu'il existe une stratégie pour le casino telle que quelque soit la stratégie employée par l'équipe des deux joueurs, il ne peuvent obtenir une espérance de gain meilleure que ce qu
, Alice et Bob se mettent d'accord sur la stratégie suivante: ils décident qu'Alice appuie sur le bouton x1 et que Bob appuie sur le bouton x2 et ce
, de tirages des nombres montrés à Bob étant égales, en misant sur n2, Alice pourrait alors obtenir une espérance de gain supérieure à celle qu'elle aurait obtenue si le système de boîtiers n'existait pas
, 1] telle que pour tout couple (x1, x2) ? E1 × E2 , la somme des p(x1, x2, y1, y2) pour (y1, y2)
, R-garanti " entraîne que pour tout quadruplet (x1, x2, y1, y2) ? E1 ×E2 ×F1 ×F2, si p(x1, x2, y1, y2) = 0 alors ((x1, y1), (x2, y2)) ? R
, On suppose R casino-inoensive, on reprend exactement les mêmes noms pour la probabilité, etc, et le même énoncé que pour l'énoncé des propriétés listée dans la dénition de casino-inoensivité: 1. Pour tout couple (x1, x2) ? E1 × E2
, on obtient que les probabilités de tirage du nombre montré à Bob sachant que la lampe y1 s'est allumée
, Puis enn elle choisit une boite qu'elle n'a pas ouverte, c'est-à-dire dont le numéro n'est pas un élément de Y 1 ? Y 2 . Désignons son numéro par i ? Z. Elle doit alors parier sur son contenu. Par parier, on entend proposer un élément x de E. Bob révèle alors à Alice la valeur f (i) de la boite et Alice gagne si x = f (i) Il est évident que si Bob triche, c'est à dire ne choisit pas une f ? E Z avant que commence la partie, il n'a pas de mal à gagner. Mais le protocole interdit à Alice d'ouvrir les boites d'une manière directe ou indirecte pour vérier que Bob ne triche pas. La question est donc de se demander s'il existe une façon de procéder, que sans faire la moindre référence à une quelconque nature quantique ou à une quelconque magie
, s n?1 ayant la propriété suivante: pour toute f ? E Z (remplissage choisi par Bob), il existe i ? n tel que pour tout j ? n \ {i}, Alice gagne en suivant la stratégie s j quand Bob a rempli les boites avec f . Rappelons qu'on n'est pas dans le "ni". Pour cela Alice doit disposer d'une fonction ? de Galvin sur E. Nous rappelons donc la dénition d'une fonction de Galvin et le théorème d'existence donnée au Chapitre 6 et nous donnons une démonstration. Rappelons d'abord ce qu'est la fonction S, Nous décrivons une famille de n stratégies s 0
, Quitte à la remplacer par S q (u) avec q assez grand, on peut supposer que ?n ? N, ?(S n (u)) = ?(u) En eet, )) est clairement décroissante, donc stationnaire car r est un bon ordre. Dès lors, on constate que ?n ? N : ?(S n+1 (u)) = un
, contenu de toutes les boites dont le numéro est un élément de la forme (q, j) avec q ? N, j = i. Pour chaque k ? n \ {i}, elle calcule alors e k := score
, = 1 + max i e i Elle demande alors à Bob d'ouvrir les boites dont les numéros sont (q, i) avec q > r. On remarque que les boites restées fermées sont les numéros (p, i)
, = ?(p ? f (r + 1 + p, i) Et enn
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